Čech-de Rham 复形作为导出全局截面的模型
在之前的博客中，我们介绍了 Čech-de Rham 复形来计算 共形场论中的反常 荷。 我们从经典 BV 形式中获得的一个（粗略的）直觉是，导出对象可以通过为原始对象添加一些额外的自由度（反场）来获得，这或许可以被解释为原始对象的某种分解或导出对象。
同样的想法也适用于我们在之前的博客中介绍的 Čech-de Rham 复形，它在原始的 de Rham 复形上引入了一个额外的次数（Čech 次数）。
因此，很自然地会提出以下问题：
- 首先，我们能否使用导出函子来理解我们之前介绍的 Čech-de Rham 复形？
- 其次，我们能否使用 共形场论的 BV 形式来捕捉我们之前讨论过的非平凡拓扑信息？
在这篇博客中，我们将探讨第一个问题。
Derived (Something) 速成课
我们不会对导出函子进行全面的介绍，而只会简要回顾一下本博客中将要用到的概念。 若想全面了解，请参阅 Gelfand 和 Manin 的《同调代数方法》（Methods of Homological Algebra）。
导出范畴
给定一个阿贝尔范畴 ，我们可以通过以下方式构造其导出范畴 ：
- 将“坏”对象替换为某些“好”对象。
- 将“坏”态射替换为“好”态射。
所以，问题在于，什么是“好”的对象和“好”的态射？
Gelfand 和 Manin 的书中有一些例子：
-
朴素的张量积是“坏”的（它只是右正合的，而非正合的），我们需要使用平坦分解来正确地定义它，即，给定 ，“好”的张量积应定义为：
其中 是 的一个平坦分解。 根据平坦分解的定义，函子 在 上是正合的，因此导出的张量积（取同调后可等同于 ）是“好”的。 也就是说，给定一个短正合列 ，序列：
是正合的。
-
朴素的 Hom 函子是“坏”的（它只是左正合的，而非正合的），我们需要使用内射分解来正确地定义它，即，给定 ，“好”的 Hom 函子应定义为：
其中 是 的一个内射分解。 根据内射分解的定义，函子 在 上是正合的，因此导出的 Hom 函子（取上同调后可等同于 ）是“好”的。 也就是说，给定一个短正合列 ，序列：
是正合的。
以上的教训是，为了定义一些好的函子，我们需要将原始对象替换为某些“好”的对象（平坦或内射分解）。 这暗示了我们将一个对象与和它拟同构的其他对象等同起来。
然而，与链复形范畴 （它将链同伦的两个对象视为等同）不同，要获得一个拟同构的“逆”映射是相当困难的。 通过使用一种称为范畴的局部化的技术，我们可以形式上地将 中所有的拟同构都反转，从而得到导出范畴 。 因此，我们发现了导出范畴的第一个性质：
-
存在一个函子：
当 是 中的一个拟同构时， 是 中的一个同构。
这样的函子是万有的，即，对于任何将拟同构映为同构的函子 ，都存在一个唯一的函子 使得 。
现在我们回到寻找“好”态射的问题。 在（上）同调的层面上，正合列是一个“好”的对象。 如果想在链复形的层面上找到这样一个“好”的对象，我们会发现正合三角，其定义为：
当某些“好”的函子作用在正合三角上时，其像仍然是一个正合三角。 此外，如果对一个正合三角取（上）同调，将会得到一个（长）正合列，这就回到了最初在（上）同调层面上的讨论（关于这一事实的证明，请看这里）。 因此，保持正合三角的态射就是“好”的态射。
例如，导出 函子 就保持正合三角。
导出全局截面
现在我们来考虑一个导出函子的重要例子，即全局截面函子 的导出全局截面 ，这将在后续的讨论中使用。
原始的全局截面函子 是一个典型的“坏”函子，它是左正合的但非正合的。 为了定义它的导出函子，我们需要将原始的层替换为其内射分解。 注意到内射分解是 -非循环的，导出全局截面可以简单地定义为：
它是正合的，并且在取 阶上同调时回到原始的全局截面函子。
关于分解的一些注记
在正文中，我们声称导出函子“恢复”了其朴素对应物所失去的正合性。 这个性质并非一个公理，而是同调代数中一个强大机制的直接结果。
分解的选择（内射 vs. 投射/平坦）是精确地根据我们想要修正的函子类型来定制的。在这里，我们展示了为什么这套机制能够奏效的一般性论证。
关键在于，内射/平坦（投射）分解将会恢复左/右正合函子所失去的正合性。
📌 左正合函子的内射分解
📌 左正合函子的内射分解
📌 右正合函子的投射/平坦分解
📌 右正合函子的投射/平坦分解
复形层的 Čech 复形
在本节中，我们将遵循stack project中的处理方式，回顾有下界复形层的 Čech 复形的构造。
考虑一个环空间 ，其上有一个阿贝尔群预层的有下界复形 。
在之前的博客中， 是一个黎曼面， 是光滑函数层，而 是微分形式层复形 ，其中 次部分被替换为圆周群（ ）值的算子函数层 ：
这个复形也被称为Deligne 复形。
更准确地说，我们在之前博客中真正考虑的是由短正合列导出的复形：
它与上面定义的复形是弱等价的。 在导出范畴中，它们是同构的。
在之前的博客中， 是一个黎曼面， 是光滑函数层，而 是微分形式层复形 ，其中 次部分被替换为圆周群（ ）值的算子函数层 ：
这个复形也被称为Deligne 复形。
更准确地说，我们在之前博客中真正考虑的是由短正合列导出的复形：
它与上面定义的复形是弱等价的。 在导出范畴中，它们是同构的。
我们可以使用 Čech 上循环来计算上同调 。 具体来说，我们考虑 的一个开覆盖 ，并构造一个 Čech 复形
这是一个双重复形。 其关联的全复形是一个复形，其 次部分为：
其中我们记 ，并规定 个交集的次数为 。 考虑一个位于 中的元素 ，其中 ，全复形上的微分由下式给出：
其中 是层复形 的微分，而表达式 表示将 限制到 上。 因此，全复形可以定义为：
其中 和 如上定义。
- 的构造对 是函子性的。
-
变换：
是函子性的，该变换将一个全局截面 映为一个元素 ，其中 且当 时 。
- 的构造对 是函子性的。
-
变换：
是函子性的，该变换将一个全局截面 映为一个元素 ，其中 且当 时 。
Čech 复形作为导出全局截面的模型
现在是时候揭示 Čech-de Rham 复形构造背后的结构了。 结论是，Čech-de Rham 复形是层复形 的导出全局截面 的一个模型。 这里的“模型”意味着 Čech-de Rham 复形的上同调与 同构。
在仓促得出这个结论之前，我们首先考虑一个更一般的情况，它对于拓扑空间 上的任何有下界阿贝尔群层复形 都成立（不限于 Čech-de Rham 复形）。
(参见 Stack Project) 设 是一个环空间。 设 是 的一个开覆盖。 对于一个 -模的有下界复形 ，存在一个典范映射：
该映射：
- 对 是函子性的。
- 与之前定义的函子性映射 兼容。
- 与开覆盖的加细兼容。
(参见 Stack Project) 设 是一个环空间。 设 是 的一个开覆盖。 对于一个 -模的有下界复形 ，存在一个典范映射：
该映射：
- 对 是函子性的。
- 与之前定义的函子性映射 兼容。
- 与开覆盖的加细兼容。
证明的思路是找到一个与 拟同构的内射层复形 ，
然后导出截面就会下降为 的全局截面。
因此，这个映射可以简单地通过将 Čech 复形的最低 Čech 次数部分“下降”到全局截面来构造，这其实就是 Čech 复形的增广映射。
总而言之，我们想要构造的映射是两个映射的复合：
可以很自然地期望这个映射是函子性的，并与之前定义的函子性映射兼容。
📓 Proof
（我们遵循 Stack Project 中的证明。）
步骤 1： 设 是一个有下界的内射层复形，且存在一个拟同构 。 根据导出函子的定义，我们有：
步骤 2： 我们分别对 和 应用 Čech 复形构造，得到一个双重复形的映射：
由于 Čech 复形的构造是逐项的，并且在每个开集上是正合的，即上述映射导出了一个复形的映射：
这是一个拟同构。
步骤 3： 现在我们只需要构造一个映射：
这样的映射可以通过双重复形 的增广来构造，它将一个元素 映为：
- 如果 ，则为 。
- 如果 ，则为 。
这样的映射是一个链映射，因此我们得到了所需的映射。
📓 Proof
（我们遵循 Stack Project 中的证明。）
步骤 1： 设 是一个有下界的内射层复形，且存在一个拟同构 。 根据导出函子的定义，我们有：
步骤 2： 我们分别对 和 应用 Čech 复形构造，得到一个双重复形的映射：
由于 Čech 复形的构造是逐项的，并且在每个开集上是正合的，即上述映射导出了一个复形的映射：
这是一个拟同构。
步骤 3： 现在我们只需要构造一个映射：
这样的映射可以通过双重复形 的增广来构造，它将一个元素 映为：
- 如果 ，则为 。
- 如果 ，则为 。
这样的映射是一个链映射，因此我们得到了所需的映射。
剩下的部分是证明上面构造的映射的函子性和兼容性。 也就是说，我们需要证明：
-
函子性：以下图表在导出范畴中是交换的：
📓 函子性证明
考虑一个阿贝尔范畴 ，其导出范畴为 。 给定一个拓扑空间 ，我们考虑一个链态射层 。 该映射的函子性等价于以下图表的交换性：
证明这个交换性的一个标准方法是考虑带有拟同构的内射层复形：
因此，上面的图表可以展开为：
这里我们利用了内射层的提升性质来获得一个链映射 ，它在同伦意义下是唯一的，并通过以下交换图定义：
现在，交换性的证明可以分解为证明上述图表中每个小方块的交换性。
左方块： 由于 Čech 复形的构造是函子性的，左边的方块是交换的（在同伦等价意义下，这在导出范畴中即为等价）。
右方块： 由于增广映射是函子性的，右边的方块是严格交换的。
📓 函子性证明
考虑一个阿贝尔范畴 ，其导出范畴为 。 给定一个拓扑空间 ，我们考虑一个链态射层 。 该映射的函子性等价于以下图表的交换性：
证明这个交换性的一个标准方法是考虑带有拟同构的内射层复形：
因此，上面的图表可以展开为：
这里我们利用了内射层的提升性质来获得一个链映射 ，它在同伦意义下是唯一的，并通过以下交换图定义：
现在，交换性的证明可以分解为证明上述图表中每个小方块的交换性。
左方块： 由于 Čech 复形的构造是函子性的，左边的方块是交换的（在同伦等价意义下，这在导出范畴中即为等价）。
右方块： 由于增广映射是函子性的，右边的方块是严格交换的。
-
兼容性：以下图表是交换的：
它们分别表示与全局截面和开覆盖加细的兼容性。
📓 兼容性证明
与全局截面的兼容性： 兼容性可以写为以下图表的交换性：
给定一个内射层 ，上面的图表可以改写为：
我们可以在上图中追踪一个元素 的路径。 沿着下方的路径，我们有：
其中 是之前定义的拟同构。 层态射应该与增广映射交换，即 ，这意味着上方路径和下方路径是相同的。
与加细的兼容性： 考虑 的两个开覆盖 和 ，其中 是 的一个加细。 给定一个内射 ，兼容性可以写为以下图表的交换性：
使用与上面相同的增广映射，交换性是显而易见的。
📓 兼容性证明
与全局截面的兼容性： 兼容性可以写为以下图表的交换性：
给定一个内射层 ，上面的图表可以改写为：
我们可以在上图中追踪一个元素 的路径。 沿着下方的路径，我们有：
其中 是之前定义的拟同构。 层态射应该与增广映射交换，即 ，这意味着上方路径和下方路径是相同的。
与加细的兼容性： 考虑 的两个开覆盖 和 ，其中 是 的一个加细。 给定一个内射 ，兼容性可以写为以下图表的交换性：
使用与上面相同的增广映射，交换性是显而易见的。
构造内射分解的一个常用方法是使用Cartan-Eilenberg 分解： ，其中 是一个内射分解。 因此，Čech 复形：
可以用来计算导出全局截面 ，正如我们上面讨论的。 现在我们考虑一个相关的双重复形：
与双重复形 相关的谱序列的 页是复形 的上同调。注意到 是一个内射分解，这个上同调就是 Čech 复形 。 因此， 页是 Čech 上同调 。
最后，如果能证明这样的谱序列收敛于原始的上同调，那么这个谱序列确实可以用来计算该上同调。 以上的讨论可以用下面的定理来表述：
存在一个谱序列 ，其 页为：
它收敛于 。
存在一个谱序列 ，其 页为：
它收敛于 。
📓 收敛性证明
📓 收敛性证明
现在我们可以将上述定理应用于层复形
利用庞加莱引理，我们知道，对于任何可缩开集 ，复形 只在次数 处有上同调。 然后，利用上面的谱序列，映射：
确实是一个同构！ 因此，我们最终证明了，在之前的博客中介绍的 Čech-de Rham 复形确实是层复形 的导出全局截面的一个模型，即 。
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