缝合手征有理共形场论

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给定一个定义在带穿孔球面 上的局部 RCFT，我们希望在更高亏格的黎曼曲面 上构造该理论。其中 表示点 处的穿孔及其局部坐标 ，满足 。

存在一种标准方法可以从若干带穿孔球面获得高亏格黎曼曲面，即所谓的“因子化” (factorization) 或“缝合程序” (sewing procedure)。 因此，核心思路如下：

• 首先，找到目标黎曼曲面 的一个因子化。
• 在每一个“裤腿” (pants) 上定义局部 RCFT，即 。
• 寻找一种局部 RCFT 的结合缝合算子，并使其与黎曼曲面的缝合相兼容。

上述数据可以总结为：

其中 表示定义在相应黎曼曲面上的 RCFT，对应于高亏格配分函数。

由于给定的黎曼曲面存在多种因子化方式，我们还需要证明定义在 上的最终 RCFT 独立于裤腿分解 (pants decomposition) 的选择。 这与上述对 的约束有关，对应于有理 CFT 中的 Moore-Seiberg 数据以及映射类群 (mapping class group) 在黎曼曲面上的作用。

这是量子场论中初等的部分，至少在“哲学”层面上是广为人知的。

考虑定义在具有边界 的流形 上的 QFT，路径积分可以写为：

它是边界场构型 的泛函。 因此，如果我们有两个边界同构 的流形 和 ，我们可以通过逆边界操作将它们胶合在一起，形成一个新流形 ：

其中我们对所有可能的边界场构型 进行求和，且 表示 的复共轭，因为 的定向与 相反。

我们首先回顾黎曼曲面的缝合程序，然后讨论局部 RCFT 在此类操作下的表现。

考虑（某些）黎曼曲面上的两个穿孔 和 。 缝合操作会将这两个穿孔胶合在一起，形成一个新的黎曼曲面 。

在此程序中：

• 穿孔 和 会被识别并最终移除。
• 局部坐标 和 满足关系 ，其中 是一个模满足 的复参数。

第二步可以理解如下：

• 在穿孔周围切除小圆盘 和 。
• 通过关系 识别边界 和 。

Fenchel–Nielsen 坐标系 对应于黎曼曲面的一种因子化。 然而，对于给定的黎曼曲面存在多种因子化，因此在 Teichmüller 空间中存在多种坐标系 。

考虑缝合双穿孔球面 上的两个穿孔 和 ，结果得到的黎曼曲面是一个环面（众所周知的事实）。 我们假设 和 是球面的两个极点，局部坐标 和 通过 相关联。

利用球面上两个图表 (charts) 的转移函数，我们可以写出 ，因此缝合关系可以写为识别 。 在这种识别下，复平面 变为一个环面 ，其中 ， 。

缝合方式的改变可以等价于改变将环面切割为双穿孔球面（带切口）的方式，这被识别为改变同调群 的基（A-循环与 B-循环）。 同调基具有由交点数给出的自然辛结构，因此基的变换应当保持该结构，即辛群 的作用。

因此，双穿孔球面上的不同缝合操作对应于 Teichmüller 空间中环面的不同坐标系 和 ，它们通过模群 的作用相关联。

模群的高亏格泛化是黎曼曲面的映射类群。 要点在于：不同的缝合操作对应于 Teichmüller 空间中不同的 坐标系，它们通过映射类群 的作用相互联系（在环面情况下即为 ）。

缝合程序可以分解为一系列初等缝合操作，对应于：

• 自扭转 (Self twisting) 。
• 自缝合 (Self sewing) 。
• 缝合两个不同的黎曼曲面 。

最终的黎曼曲面可以通过这些初等缝合操作的序列组合获得。

从给定的因子化到另一个因子化有多种路径，对应于不同的初等缝合序列。 Hatcher 和 Thurston 的一项结果对这些关系进行了分类：

因此，为了获得从给定因子化到另一因子化的两个一致的缝合操作，我们只需要检查在这些初等变换下的一致性。 诸如五边形关系和六边形关系等展示了，从给定因子化到另一因子化的所有不同路径都是一致的。

利用上述构造，该理论带有强烈的 QFT 路径积分胶合的朴素图像色彩，即对生活在边界圆上的状态求和：

其中 表示边界局部场构型。 在 CFT 中：

• 利用态 - 场对应 (state-field correspondence)，边界局部场构型被识别为附着在边界圆上的希尔伯特空间 中的状态。

• 边界场构型可以写为初级场及其下降场 (descendants) 的线性组合：

  其中 是初级场集，而 是 Virasoro 生成元（为简单起见，我们在此仅考虑手征部分）。

• RCFT 限制希尔伯特空间 的维数为有限，因此我们可以为初级场选择一组有限基 。

因此，我们可以为生活在边界圆上的状态选择一组有限基 ，其中 标记初级场， 标记下降场。 考虑缝合具有穿孔 的 和具有穿孔 的 ，边界态可以写为：

其中系数 和 可以写为涉及相应场的一些相关函数：

这里我们使用态 - 算符对应来联系状态与局部场，穿孔在径向量子化中被理解为无限的过去或未来。

胶合过程产生了一个双穿孔球面，其端点插入了由初级场下降场生成的边界态。 因此，该球面 上的配分函数为（此处为简单起见假设 ，若考虑一般缝合参数 ，则需插入因子 以处理复结构的改变）：

因此，缝合 和 得到的振幅可以写为：

（此处假设 是正定的）。将其插入到 和 的相关函数中，我们得到缝合后的手征相关函数：

现在我们关注初级场相关器。 由于态 - 算符对应，初级场将对应于一个最高权态，从而在希尔伯特空间 中形成一个子空间。 在这种情况下，我们缝合操作的设置可以总结为：

• 考虑在穿孔 和 处缝合两个黎曼曲面 和 。
• 在每个穿孔上，我们附着一个由初级场 及其下降场张成的向量空间 。

第二部分对应于选择我们的手征代数 （或者如果你愿意，称之为顶点算子代数）的一个模 来附着到缝合穿孔上。

回顾之前的讨论，我们有：

我们需要检查上述构造的共形块是否确实构成了共形块空间 的一组基。 我们将在下一节进行此项工作。

三点球面 上的共形块与附着在穿孔上的模的融合规则 (fusion rules) 相关：

这引导我们考虑模之间的交织算子 (intertwining operators)：

其中 具有共形权 ，将模 映射（交织）到 。 如果存在多个同类型的交织算子，我们将其记为 ，其中 ，因此三点球面共形块可以写为：

在交织算子的语言中，导致四点球面共形块 的缝合操作可以写为：

其中 是附着在缝合穿孔上的内部模，上述因子化对应于 s-道费曼图 。

在上一节中，我们定义了局部 RCFT 的缝合操作，它与黎曼曲面的缝合以及 QFT 中的胶合程序相关联。

然而，这种构造仅仅是“一种”构造。为了使其成为从低亏格 RCFT 构造高亏格 RCFT 的“一致的”构造，我们需要检查一些一致性条件：

• 检查我们定义的 RCFT 手征相关器确实是一个手征相关器。
• 对于给定的黎曼曲面存在多种因子化，我们需要证明定义的最终 RCFT 独立于裤腿分解的选择。
• 从给定的因子化到另一因子化有多种路径，我们需要检查这些不同路径的一致性。

第一点是 RCFT 自身的内部约束，我们之前已经提到过；第二点是来自黎曼曲面几何的外部约束，对应于映射类群的作用。

定义在黎曼曲面上的物理场论应当独立于曲面因子化的选择，从而独立于缝合操作的选择。

回想我们之前从给定因子化构造共形块基的过程，不同的因子化将给出共形块空间 的不同基。 我们需要证明这些不同的基实际上张成了同一个空间。

因此，不同的因子化给出了同一共形块空间 的不同基。 这表明我们针对局部 RCFT 的缝合操作与黎曼曲面的几何是一致的。

虽然不同的因子化产生不同的共形块空间基，但基的变换必须独立于所选的初等缝合操作序列。

正如我们之前提到的，为了检查这种一致性，我们只需要检查由 Hatcher-Thurston 定理给出的初等变换，即 F-变换和 S-变换。

此类变换会导致共形块空间基的改变，我们用某些矩阵来表示这种基变换。

F-变换对应于改变将四穿孔球面切割为两个三穿孔球面方式，即考虑 ，F-变换对应于交换 道与 道。 此处， 表示附着在缝合穿孔上的内部模。

因此，F-变换会导致四点共形块基的改变，即 和 ，这可以写为：

其中矩阵 被称为 F-矩阵，列 表示模 和 的融合，行 表示初始模 和外部模 。

S-变换对应于改变将单穿孔环面切割为双穿孔球面（带切口）的方式，即考虑 ，S-变换对应于交换 A-循环与 B-循环切割。

我们假设穿孔 附着了模 。

A-循环 切割对应于将环面切割为双穿孔球面 ，其中穿孔 和 分别附着模 和 。 因此，交织算子可以写为 ，而共形块空间可以写为：

环面上的配分函数可以写为：

其中 （一个初级态）表示穿孔 处的边界场构型。

B-循环 切割对应于将环面切割为双穿孔球面 ，其中穿孔 和 分别附着模 和 。

因此，尽管切割方式不同，它们都给出了同一共形块空间 的一组基，唯一的区别是基的变换，可以写为：

与穿孔空间的情况不同，黎曼曲面上的共形块携带一些重要的解析结构，这导致了某些非平凡的单值性 (monodromy)，从而产生编织操作。

编织变换对应于交换黎曼曲面上的两个穿孔，这导致一个映射：

全相关函数在编织操作下应当是不变的，因此手征部分在此操作下应当线性变换：

其中矩阵 被称为 编织矩阵。

扭转变换对应于将黎曼曲面上的一个穿孔扭转 (Dehn twist)，这导致一个映射：

我们讨论了导致不同缝合操作的初等变换（F 和 S 变换），它们在共形块空间上产生了线性变换 。

现在我们需要检查这些变换的一致性。

首先，如前所述，从给定因子化到另一因子化的不同初等变换序列应当在共形块空间上给出相同的变换。

此外，由于我们在这些黎曼曲面上附着了 RCFT 数据，这些变换应当与 RCFT 数据兼容。 因此，我们的一致性条件可以总结为：

• 局部 RCFT 数据的一致性。
• 共形块的单值性构成了映射类群的表示。
• 初等变换的不同路径联系相同的共形块基。

此类一致性条件被称为 Moore-Seiberg 方程，或 对偶 (Duality) 恒等式。

在 零亏格黎曼曲面 上，我们有以下 Moore-Seiberg 方程：

• F-变换的五边形关系 (Pentagon relation)。
• B-变换与 F-变换的六边形关系 (Hexagon relation)。

[Image gallery showing Pentagon and Hexagon relations]

从这些关系中， 满足杨 - 巴克斯特方程 (Yang-Baxter equation)。

此外，我们还有 一亏格黎曼曲面 上 S-变换的一些模性条件：

• ，其中 是电荷共轭矩阵。
• 以及其他来自模群 的关系。
• 其他一亏格关系，例如 。

你可能会好奇是否存在更高亏格的 Moore-Seiberg 方程？ 答案是肯定的。然而，正如我们将在下一节看到的，所有这些高亏格一致性条件都可以从零亏格和一亏格的 Moore-Seiberg 方程推导出来，也就是说，独立的一致性条件仅仅是我们上面提到的那些。

看起来我们可以从黎曼曲面上各种各样的缝合操作构造出无限多的一致性条件。

然而，Moore 和 Seiberg 的一项结果表明，所有这些一致性条件都可以从一个有限集中推导出来，即我们之前提到的 Moore-Seiberg 方程。

看待这一点最简单的方法是使用范畴论中的一些“抽象废话”。

注意到我们上面讨论的数据 实际上构成了一个张量范畴，更准确地说，是一个模张量范畴 (modular tensor category)。利用 MacLane 的相干定理 (coherence theorem)，这组有限的一致性条件可以理解为模张量范畴的相干条件，因此所有其他的一致性条件都可以从中推导出来，即从这些数据构造的图表都是可交换的。

然而，这种一致性的几何含义可能更加“物理”，并且与黎曼曲面上的映射类群作用相关。

缝合程序及其之间的平移可以由一个称为对偶复形 (duality complex) 的复形捕获，其中：

• 顶点：共形块空间的一组基。
• 边：两个因子化之间的初等变换（ , , , 矩阵）。

我们想要证明的是，当 Moore-Seiberg 方程满足时，该复形中的所有回路都是可收缩的。

首先， 矩阵的五边形关系可以用来将任何顶点转换为标准形式，称为 多外围基 (Multiperipheral Basis)。

现在，剩余的边仅与 , 和 变换有关。 因此，此类操作可以被识别为映射类群 的元素。

利用这一事实，对偶复形中的每个大回路都可以分解为一系列较小的回路，每个小回路对应于映射类群中的一个关系：

• 编织回路 (Braiding loop)：由于 和 矩阵的六边形关系（杨 - 巴克斯特方程）而可收缩。
• Dehn 扭转关系 (Dehn twist relations)：由于 和 矩阵的模性关系而可收缩。

因此，当 Moore-Seiberg 方程满足时，对偶复形中的所有回路都是可收缩的。