费曼规则作为单子

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让我们简要回顾一下微扰量子场论（QFT）中的费曼规则。

一个由拉格朗日量描述的场论通常可以分解为：

• 自由部分（Free part）： 场中的二次项。
• 相互作用部分（Interaction part）： 场中的高阶项。

当使用维克定理（Wick's theorem）对路径积分进行微扰展开时，展开式中的每一项都可以用一个费曼图来表示，其构建遵循以下规则：

• 图（Graph） ：一个亏格为 且带有 条带标号外腿（external legs）的图。
• 边（Edges）： 对应传播子 ，源自拉格朗日量的自由部分。
• 顶点（Vertices）： 对应拉格朗日量中的相互作用项。

每个顶点的配价（valence）由相互作用项的阶数决定。

最后，在对所有内部顶点进行积分并对所有可能的图进行求和后，我们得到了关联函数的微扰展开。

这种为每条边和每个顶点分配代数数据的过程构成了费曼规则。

自由部分对于计算费曼积分至关重要，但我们在此不做讨论。 在这篇博文中，我们将聚焦于图的组合结构以及向其顶点分配数据的过程。

现在，让我们严谨地形式化这些想法。

首先，顶点可能的贡献可以被组织成一种特定的结构1：

• 一个按顶点配价分级的向量空间。
• 对称群 在 阶部分上的置换作用，代表外腿标号的置换。

因此，这些贡献构成了一个 -模（或称为对称序列），其中 。一个 -模是向量空间序列 ，其中每个空间都装备了 的作用。

我们可以构造 -模的范畴，记为 ，其对象是 -模，态射是 -等变线性映射。

这个向量空间可能对应于额外的数据。 在我们的语境中，考虑亏格分级是很自然的。即，每个 可以进一步分解为：

其中 是表示亏格的非负整数，满足稳定性条件 。 如果我们仅限于树级（tree-level）贡献，我们将 并要求 （对于传播子则 ），这实际上忽略了不稳定的蝌蚪图（tadpole diagrams）。 由于该条件对应于 modular operad 理论中的稳定性，我们将此类 -模的范畴记为 ，即稳定的 -模。

接下来，我们考虑图。 直观地定义一个图很容易，但建立精确的公理化框架却很微妙。 描述图的一种自然方式是：

• 收集所有顶点形成一个集合 。
• 为每个顶点 分配一个半边（half-edges）集合 。该集合的基数称为配价 。
• 将半边配对形成边。边的集合记为 。
• 剩余未配对的半边称为（外部）腿（legs），记为 ，其基数为 。

此外，一个标号图为每个顶点 分配一个非负整数 ，称为顶点的亏格。 图 的亏格定义为：

其中 是图的第一贝蒂数2。 这样的图记为 。

我们将标号图 定义为一个二元组 ，其中 是对外腿进行标号的双射。

亏格为 且有 条标号腿的标号图范畴记为 ，其对象是标号图 ，态射是保持腿标号的图态射。

我们在此略过图态射的技术定义。粗略地说，态射是两个图之间保持顶点、边和腿连接结构的映射。

在 中存在一个终对象：单顶点图 ，它没有边，只有一个亏格为 的顶点和 条腿。

现在我们可以利用 和 的范畴论语言来重新表述费曼规则。

在这个语境下，一个费曼规则由以下要素指定：

• 中的一个对象 。
• 中的一个图同构类 。

对所有可能的图同构类 求和，我们获得了一个 上的自函子（endofunctor），记为 ：

其中 是 -模 的余不变空间（coinvariant space）。

由于 是 上的自函子，我们可以考虑 与 之间的关系。

此外，我们可以考虑任意正整数 的 。 根据定义，这种复合对应于：

• 在图的层面上，

  • 考虑一个费曼图。
  • 对于图中的每个顶点，用另一个费曼图替换它。

• 在向量空间的层面上，

  • 对于每个顶点，为其分配一个向量空间 。
  • 通过再次应用费曼规则获得一个新的向量空间。

存在一个自然变换 ，称为自函子 的乘法。这对应于以下操作：

• 将图代入顶点。
• 将其压平（flattening）为单个图。
• 使用费曼规则获得一个向量空间。

对于 ，有两种压平嵌套图的方式（结合律）：

• 先压平最底层，然后处理结果图。
• 先压平最高层，然后处理结果图。

两种过程产生相同的结果，满足结合律条件。

此外，存在一个单位变换 ，其中 是恒等自函子。这对应于单顶点图 的包含映射。

因此，自函子 连同 和 ，构成了 范畴上的一个单子（Monad）。 这表明费曼规则的组合结构可以被单子语言完美地捕捉。

回顾一下，一个 cyclic operad 仅仅是对应于树的特定单子上的代数。

由于我们的单子 是使用带有亏格圈的图定义的，其代数将 operad 推广为所谓的 modular operad。

确切地说，一个 modular operad 是单子 上的一个代数，配备了一个结构映射 ，满足：

• 结合律： 。
• 单位律： 。

我们将 modular operad 记为一个二元组 。

既然已经通过单子定义了费曼规则，我们转向微扰 QFT 中的一个关键过程——重整化。

威尔逊重整化群（RG）方法表明，为了获得低能标下的有效理论，我们需要：

1. 积掉（Integrate out）高能模，导致原始相互作用项“流”向有效相互作用。
2. 对场和耦合常数进行重标度。
3. 在低能下仅保留相关（relevant）和边缘（marginal）的相互作用项。

乘法函子 自然地描述了第一步的组合学层面：内部边的收缩对应于传播子的积分。

给定由单子 构造的 modular operad ，重整化过程可以由以下映射捕捉：

其中 是 modular operad 的结构映射。

考虑迭代地应用函子 。这对应于嵌套收缩（或能标）的层级结构。 我们得到一系列映射：

这是 范畴中的一个单纯对象（simplicial object），构成了 modular operad 的 bar construction。

单纯对象编码了面映射（face maps） 和退化映射（degeneracy maps） ，从而产生同调结构。“主方程” 编码了理论的一致性条件，特别是单子的结合律和单位律公理。

考虑边界算子 的具体结构。 面映射 本质上对应于在第 层嵌套处收缩图。此类映射的表达式为：

这些映射满足单纯恒等式 。

利用这些面映射，我们定义总边界映射 为：

其中由于单纯恒等式，主方程 得到满足。

我们主要在顶点及其复合的层面上，建立了费曼图的“范畴学描述”。

然而，仍有重要的数据未被捕捉。 例如，在微扰陈 - 西蒙斯（Chern-Simons）理论中，关联函数（在 上）涉及高斯环绕数（Gaussian linking number），这对边的定向非常敏感。 因此，要发展一个完整的范畴学描述，必须将定向数据考虑在内。 这引出了 "twisted modular operads" 的概念，它与 Kontsevich 的图复形（graph complex）——陈 - 西蒙斯微扰理论的“真正”归宿——密切相关。

但这便是后话了。

1. 如果理论中有额外的结构输入，例如分级（grading），我们应将向量空间替换为相应的对象，如分级向量空间。
2. 这个亏格定义在 modular operad 的语境中是标准的。与通常的图亏格（贝蒂数）不同，我们用“内部”亏格数据装饰每个顶点，这对单子结构至关重要。