Chern-Simons 理论与 Yang-Baxter 方程

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Chern-Simons 理论是定义在三维流形 上的 Yang-Mills 理论的拓扑版本。 在这种情况下，规范联络 取值于规范群 的李代数 中，Chern-Simons 作用量由下式给出：

其中 是 上主 -丛的联络 1-形式。 在物理文献中，人们通常考虑带有耦合常数 的 Chern-Simons 作用量：

其中 被量子化以确保量子层面的规范不变性。 形式上，使用路径积分形式，Chern-Simons 理论的配分函数形式地由下式给出：

即对 上 -丛中所有联络的空间模规范变换的商空间进行积分。

在微扰层面，配分函数在满足 的平坦联络 附近展开，这是从 Chern-Simons 作用量导出的经典运动方程。

Chern-Simons 理论中的规范不变观测量是 Wilson 圈，它由数据 定义，其中 是嵌入 中的纽结， 是规范群 在向量空间 上的表示，可以写为：

其中 表示沿纽结 的路径有序指数。

在我们之前关于任意子的博客中，这样的 Wilson 圈观测量可以被理解为在 中运动并携带规范群 下某种电荷的粒子的世界线。 其中该粒子的电荷由表示 标记。

Wilson 圈的量子期望值可以形式地定义为：

值得注意的是，根据 Witten 的工作，这些期望值给出了 中纽结和链环的拓扑不变量（Jones 多项式）。

Witten 的方法使用非微扰方法，将 Chern-Simons 理论与 边界上的共形场论（Wess-Zumino-Witten 理论）联系起来，并采用手术技术来计算这些不变量。

一个自然的问题是：我们能用微扰方法恢复这些纽结不变量吗？ 在这个层面上，一个自然的期望是，结果将（至少形式上）对应于某些纽结多项式不变量的 Taylor 系数，而每个系数可能是一个新的纽结不变量。 在这篇博客中，我们将看到这确实是事实。

从现在开始，我们假设 ，其中 是黎曼曲面， 表示时间方向。 在这种情况下，Morse 纽结可以相对于沿 方向的高度函数定义。

我们还为规范李代数 选择一组基 ，使得 ， 。 然后规范联络 可以表示为 ，其中 是 上的普通 1-形式（在选择主 -丛的参考平凡化后）。

为了进行微扰展开，我们需要固定一个规范。 在这种情况下，一个自然的规范固定条件可以按如下方式实现。 首先，给定 上的复结构，我们可以在 上引入复坐标 。 然后规范联络 可以分解为：

我们将施加 轴向规范 条件（又称 全纯规范） 。 因此，规范联络简化为 ，Chern-Simons 作用量简化为：

其中 。 在这种规范固定下，路径积分将简化为纯粹的高斯积分。

要使用微扰方法，我们需要计算规范场 的传播子（两点关联函数）。 在轴向规范下，传播子可以计算为：

因此，Wilson 圈的期望值可以使用 Wick 定理计算。 为了计算这个期望值，我们选择嵌入在 中的 Morse 纽结 和纽结的参数化 。 然后 Wilson 圈观测量可以展开为：

使用规范场的分解 ，我们可以将其重写为：

因此，期望值可以通过以下方式计算：

其中 是集合 的配对，每个配对 由两个元素 组成， 表示当赋予从 继承的定向时，向下定向的弧的数量。

在积掉 delta 函数后，连接的顶点将位于沿 方向的同一时间切片上。 因此，Wilson 圈的期望值可以表示为：

其中 称为纽结 的 Kontsevich 积分，可以表示为：

其中 是在纽结上点 和 处李代数元素的双重插入，可以理解为在这两点处用权重 "连接"纽结。

不难看出， 的定义是（我们在 前一篇博客 中讨论的任意子系统构造的时间演化算符的非阿贝尔推广）。 因此，你可以认为 Kontsevich 积分可以被理解为某个任意子系统沿世界线 运动时在统计相互作用存在下的时间演化算符。

我们考虑两条链的简单辫子构型，这是嵌入在 中的简单 Morse 纽结。

时间切片上两条链的交点将在 中成为两个不同的点 。 使用 Kontsevich 积分的构造，唯一的非平凡贡献来自这两点上规范联络的 次方，这给出1：

其中 可以计算为：

因此，期望值可以表示为：

这（在取迹之前）恰好与作用在张量积表示 上的量子 R-矩阵 相关。

现在我们考虑上面构造的期望值的物理解释。 为了实现这个目标，让我们考虑一个（看似）独立的来自共形场论的问题。

在研究具有规范对称性的共形场论时，Knizhnik 和 Zamolodchikov 发现了 Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型中初级场关联函数满足的一个显著的微分方程。

考虑复平面 中的 个不同点 ，并将李代数 的表示 关联到每个点 。 Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) 方程是关于函数 的一阶微分方程组，其中 是 中 个不同点的位形空间：

其中 是李代数 的对偶 Coxeter 数， 是作用在张量积 的第 和第 个因子上的 Casimir 元，定义为：

根据定义，KZ 方程描述了位形空间 上的局部系统，可以被理解为平坦联络 。

平坦性的证明是直接计算。 然而，这个平坦性有一些非常重要的结果，所以我强烈建议你阅读它。

一个自然的问题是：这个局部系统的单值性是什么？ 我们首先考虑 的情况，它可以归结为单个常微分方程：

解可以表示为 。 在 绕原点转一圈后，即 ，解将变换为：

因此，单值矩阵由 给出。 这恰好是我们从微扰 Chern-Simons 理论中找到的 R-矩阵！2

事实上，这不是巧合。 根据 Drinfeld 和 Kohno 的工作，KZ 联络的单值表示等价于从相应量子群的 R-矩阵获得的辫群表示。

另一个自然的问题是： 个点的一般情况如何？ 由于 KZ 联络是平坦的，单值性等价于这个联络的和乐，这样的和乐可以重新表述为：

其中 。 这样的和乐可以展开并直接计算：

代入 的表达式后，和乐可以表示为：

将 解释为时间方向，这恰好是我们从微扰 Chern-Simons 理论构造的 Kontsevich 积分（在取 极限后）。

此外，我们可以得出结论，微扰 Chern-Simons 理论中 Wilson 圈的期望值是 KZ 联络的（形式）Dyson 级数展开。

与其使用 KZ 联络及其 Dyson 公式来手摇论证 Chern-Simons 理论产生 Yang-Baxter 方程的解，我们将给出一个更直接的来自紧化位形空间的论证。 这样的构造最初由 Kontsevich 在关于 Poisson 流形形变量子化的工作中引入。

我们首先回到从微扰 Chern-Simons 理论对 Kontsevich 积分的定义：

这个构造可以用 Feynman 图重新解释。 为了实现这个目标，我们注意到：

• 坐标 表示 （或 ）上的一些点
• 配对 可以被理解为连接 （或 ）上这些点的一组 弦

第一个观察引入了 Feynman 图中的顶点，而第二个观察引入了 Feynman 图中的边（传播子）。 因此，弦图可以自然地嵌入 Feynman 规则。

不难想象，由于 Kontsevich 积分是从 Chern-Simons 理论的微扰展开构造的，它应该在纽结 的同痕下不变。

然而，这种朴素的期望在纽结 的任意同痕下并不成立。 例如，考虑一个会在沿纽结 的高度函数中创建或湮灭一对临界点的同痕，Kontsevich 积分在这样的同痕下不会不变。

如果我们限制在保持纽结 的 Morse 性质的同痕，Kontsevich 积分将在这样的同痕下不变。

Morse 纽结类中任何纽结的形变都可以用三种类型的形变序列来近似：

• 保持定向的重新参数化，验证 Kontsevich 积分的不变性是平凡的。
• 水平形变：保持所有水平平面 并固定所有临界点（连同一些小邻域）。
• 临界点的移动。

现在我们关注后两种类型的形变。

水平形变可以看作是固定边界点的缠结的同痕。 考虑两个缠结 和 ，它们通过水平形变 ， 相关。

和 上的 Kontsevich 积分可以与参数空间 的边界上的积分相关，其中 是固定 时 上的标准 -单纯形。 通过 Stokes 定理，我们有：

其中 ， 表示来自（余维 ）边界层的贡献，其特征是某两点坍缩构型，即：

使用 Fubini 定理，我们只需要检查来自 的贡献来验证 Kontsevich 积分在水平形变下的不变性，即，我们需要检查来自 的贡献会消失。

有四种类型的这样的坍缩构型：

• 时间平面碰到临界点。
• 两条弦终止于两个相同点。
• 两条弦的端点属于四条不同的弦。
• 两条弦的端点属于三条不同的弦。

第一种类型 的边界层不会对积分有贡献，因为被积形式会在这样的边界上消失。

第二种类型 的边界层也不会对积分有贡献，因为由于楔积的反对称性，被积形式会在这样的边界上消失：

而 且 。

第三种类型 的边界层不会天真地为零。 我们将四条不同的弦记为 ，以及两条坍缩的弦，例如 和 ，用它们的端弦来表示。

可能的坍缩构型可以通过以下两种方式构造：

• 第 条弦是 ，第 条弦是 。
• 第 条弦是 ，第 条弦是 。

并且有两条额外的弦分别连接 和 。 因此，来自这两个坍缩构型的贡献可以表示为：

（其中这种构型的 是相同的）因此，第三种类型的边界层也不会对积分有贡献。

最后一种类型 的边界层是最有趣的。 我们可以通过遍历所有连接情况，用以下 种方式构造这样的坍缩构型：

使用 的事实，上面的方程与 Arnold 恒等式一致：

因此，最后一种类型的边界层也不会对积分有贡献。 因此，我们得出结论：

Kontsevich 积分在临界点移动下不是不变量。 在这样的形变下，Kontsevich 积分会改变 ，这是未知结的 Kontsevich 积分（进一步讨论，请查看 此文）。 因此，归一化的 Kontsevich 积分定义为：

其中 是 Morse 纽结 的临界点数量。 这个归一化因子也将抵消 Chern-Simons 理论中的框架异常。 这被称为 泛 Vassiliev 不变量。

Yang-Baxter 方程可以理解为纽结理论中 III 型 Reidemeister 移动下 Kontsevich 积分的不变性。 在任意子的语境中，这可以被解释为三个任意子之间辫状的一致性条件。

因此，积分将由 -链缠结建模，对 的边界上的积分将导致：

其中 和 是通过 III 型 Reidemeister 移动相关的两个缠结。

这与上面讨论的水平形变情况完全相同。 因此，使用与之前相同的论证，来自边界层的贡献将消失。 我们剩下的是 ，这是 阶（量子）Yang-Baxter 方程。

1. 这是量子场论中所谓连通图展开的最简单情况。
2. 嗯，你可能会争辩说在 CS 和 KZ 情况下 的定义中有一个（轻微的）因子 的差异。然而，由于微扰展开是在大 极限（小 ）下进行的，这个差异可以被忽略。此外，从微扰 CS 理论的角度恢复这个因子 是相当有趣的，我不知道如何做到这一点。